RAZONES Y PROPORCIONES
Razón
Dados dos números a y b una razón es el cociente entre esos números
Proporción
Una "proporción aritmética" es una
expresión de la relación de igualdad entre 2 razones. Las proporciones
aritméticas se pueden representar de dos maneras distintas:
a/b = c/d o bien a:b = c:d
y se lee "a es
a b como c es a d".
Los términos primero y cuarto de
una proporción aritmética reciben el nombre de extremos, mientras
que los términos segundo y tercero se denominan medios.
Así sea la proporción aritmética 10:5 = 8:4.
Los términos 10 y 4 (son extremos) y, 5 y 8 (son medios).
Las proporciones aritméticas
cuyos medios no son iguales reciben el nombre de proporciones aritméticas
discretas. Por el contrario, si los medios de la proporción aritmética son
iguales, ésta recibe el nombre de continua. En el caso del ejemplo se trata de
una proporción aritmética discreta porque sus medios son desiguales (5 y 8).
En toda proporción (no continua):
(10×4 = 5×8)
Dadas
dos razones a/b y c/d diremos
que están en proporción si :
Los términos a y d se
denominan extremos mientras que b y c son los
medios.
En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios a·d = b·c
En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios a·d = b·c
La
propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción, el
producto de los extremos es igual al de los medios.
Así en la
proporción anterior se cumple que el
producto de los extremos nos da 2x20=40 y el producto de los medios nos da
5x8=40
se cumple que el
producto de los extremos nos da 2x20=40 y el producto de los medios nos da
5x8=40
EN GENERAL
 |
Halla el valor de x para que las dos razones estén en
proporción
Proporcionalidad directa
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una,
aumenta la otra en la misma proporción.
Un kilo de harina cuesta 0.5 € si compramos 4 Kilos
de harina nos costarán 2 € luego las magnitudes kg. de harina y precio son dos
magnitudes directamente proporcionales, al aumentar una aumenta la otra en la
misma proporción. Al multiplicarse por 4 la cantidad de harina se multiplica
por 4 el precio
Ejemplo
Un saco
de patatas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos?
Un
cargamento de patatas pesa 520 kg ¿Cuántos sacos se podrán hacer?
Número
de sacos
|
1
|
2
|
3
|
...
|
26
|
...
|
Peso en
kg
|
20
|
40
|
60
|
...
|
520
|
...
|
Para
pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20
Para
pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20
Observa
que
Las
magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente
proporcionales.
La constante
de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kg es 20.
Proporcionalidad inversa
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una,
disminuye la otra en la misma proporción.
Tres pintores tardan 10 días en pintar una tapia.
¿Cuánto tardarán seis pintores en hacer el mismo trabajo? Al aumentar el número
de pintores disminuye el tiempo que se tarda en pintar la tapia, como el número
de pintores se multiplica por 2, el número de días que s emplean en pintar se
divide por 2. Así tardarán 5 días.
Ejemplo
Si 3
hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18
hombres para realizar el mismo trabajo?
En este
caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple
número de trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto las magnitudes son inversamente
proporcionales.
Formamos
la tabla:
Hombres
|
3
|
6
|
9
|
...
|
18
|
Días
|
24
|
12
|
8
|
...
|
?
|
Vemos que
los productos 3.24=6.12=9.8=72
Por tanto
18.x=72
O sea que
los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo
CORRELACIÓN
La correlación trata
de establecer la relación o dependencia que existe entre las dos variables que
intervienen en una distribución bidimensional.
Es decir, determinar si los cambios en una de las variables influyen en
los cambios de la otra. En caso de que suceda, diremos que las variables están
correlacionadas o que hay correlación entre ellas.
Tipos de correlación
1º Correlación
directa
La
correlación directa se da cuando al aumentar una de las variables la otra
aumenta.
2º Correlación
inversa
La
correlación inversa se da cuando al aumentar una de las variables la otra
disminuye.
3º Correlación
nula
La
correlación nula se da cuando no hay dependencia de ningún tipo entre las
variables.
REPARTOS PROPORCIONALES
En un reparto proporcional hay que repartir una cantidad
proporcionalmente a otras, este reparto puede ser directo, si a una cantidad
mayor corresponde otra mayor o inverso, si a una cantidad mayor le corresponde
una menor.
REPARTO PROPORCIONAL DIRECTO
A una mayor cantidad corresponde mayor proporción.
Ejemplo:
Tres socios, Antonio, José y Ana pusieron para
crear una empresa 5000, 8000 y 10000 euros respectivamente. Tras un tiempo la
empresa tiene 2300 euros de beneficios. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno?
Es claro que los beneficios se tienen que repartir proporcionalmente a la cantidad que se aporta y a mayor aportación más beneficios, luego el reparto proporcional es directo.
LLamemos x, y, z a los beneficios de Antonio, José y Ana. Establecemos la proporción entre el beneficio y la aportación .
Una entidad benéfica decide repartir 910
ordenadores entre tres centros educativos, el primero tiene 380 alumnos, el
segundo 410 y el tercero 510. ¿Cuánto ordenadores corresponden a cada centro?
REPARTO PROPORCIONAL INVERSO
A una mayor cantidad corresponde menor proporción
Ejemplo:
Un padre quiere repartir 15000 euros entre sus
hijos de 3, 10 y 15 años. Desea entregar a cada hijo una cantidad que sea
inversamente proporcional a su edad. ¿Qué cantidad corresponderá a cada hijo?Llamemos x, y, z a las cantidades que lo corresponde a los hijos de 3, 10 y 15 años respectivamente
Por tanto al niño de 3 años le corresponden 10.000 €, al de 10 años 3.000 € y al de 15 2000 €.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Encuentra el término que falta en las siguientes
proporciones
1. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10.
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