Matematica Tranquila: RAZONES Y PROPORCIONES

RAZÓNES Y PROPORCIÓNES

Razón
Dados dos números a y b una razón es el cociente entre esos números

Proporción

Una "proporción aritmética" es una expresión de la relación de igualdad entre 2 razones. Las proporciones aritméticas se pueden representar de dos maneras distintas:

a/b = c/d o bien a:b = c:d

y se lee "a es a b como c es a d".

Los términos primero y cuarto de una proporción aritmética reciben el nombre de extremos, mientras que los términos segundo y tercero se denominan medios.

Así sea la proporción aritmética 10:5 = 8:4. Los términos 10 y 4 (son extremos) y, 5 y 8 (son medios).

Las proporciones aritméticas cuyos medios no son iguales reciben el nombre de proporciones aritméticas discretas. Por el contrario, si los medios de la proporción aritmética son iguales, ésta recibe el nombre de continua. En el caso del ejemplo se trata de una proporción aritmética discreta porque sus medios son desiguales (5 y 8).

En toda proporción (no continua):

§ El producto de los extremos será igual al producto de los medios.

(10×4 = 5×8)

Dadas dos razones a/b y c/d diremos que están en proporción si:

Los términos a y d se denominan extremos mientras que b y c son los medios.
En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios a·d = b·c

La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción, el producto de los extremos es igual al de los medios.

Así en la proporción anterior

se cumple que el producto de los extremos nos da 2x20=40 y el producto de los medios nos da 5x8=40

EN GENERAL

Halla el valor de x para que las dos razones estén en proporción

Proporcionalidad directa

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una, aumenta la otra en la misma proporción.

Un kilo de harina cuesta 0.5 € si compramos 4 Kilos de harina nos costarán 2 € luego las magnitudes kg. de harina y precio son dos magnitudes directamente proporcionales, al aumentar una aumenta la otra en la misma proporción. Al multiplicarse por 4 la cantidad de harina se multiplica por 4 el precio

Ejemplo

Un saco de patatas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos?

Un cargamento de patatas pesa 520 kg ¿Cuántos sacos se podrán hacer?

Número de sacos	1	2	3	...	26	...
Peso en kg	20	40	60	...	520	...

Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20

Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20

Observa que

Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales.

La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kg es 20.

Proporcionalidad inversa

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, disminuye la otra en la misma proporción.

Tres pintores tardan 10 días en pintar una tapia. ¿Cuánto tardarán seis pintores en hacer el mismo trabajo? Al aumentar el número de pintores disminuye el tiempo que se tarda en pintar la tapia, como el número de pintores se multiplica por 2, el número de días que s emplean en pintar se divide por 2. Así tardarán 5 días.

Ejemplo

Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo?

En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto las magnitudes son inversamente proporcionales.

Formamos la tabla:

Hombres	3	6	9	...	18
Días	24	12	8	...	?

Vemos que los productos 3.24=6.12=9.8=72

Por tanto 18.x=72

O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo

CORRELACION

La correlación trata de establecer la relación o dependencia que existe entre las dos variables que intervienen en una distribución bidimensional.

Es decir, determinar si los cambios en una de las variables influyen en los cambios de la otra. En caso de que suceda, diremos que las variables están correlacionadas o que hay correlación entre ellas.

Tipos de correlación

1º Correlación directa

La correlación directa se da cuando al aumentar una de las variables la otra aumenta.

2º Correlación inversa

La correlación inversa se da cuando al aumentar una de las variables la otra disminuye.

3º Correlación nula

La correlación nula se da cuando no hay dependencia de ningún tipo entre las variables.

REPARTOS PROPORCIONALES

En un reparto proporcional hay que repartir una cantidad proporcionalmente a otras, este reparto puede ser directo, si a una cantidad mayor corresponde otra mayor o inverso, si a una cantidad mayor le corresponde una menor.

REPARTO PROPORCIONAL DIRECTO

A una mayor cantidad corresponde mayor proporción.

Ejemplo:

Tres socios, Antonio, José y Ana pusieron para crear una empresa 5000, 8000 y 10000 euros respectivamente. Tras un tiempo la empresa tiene 2300 euros de beneficios. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno?

Es claro que los beneficios se tienen que repartir proporcionalmente a la cantidad que se aporta y a mayor aportación más beneficios, luego el reparto proporcional es directo.
LLamemos x, y, z a los beneficios de Antonio, José y Ana. Establecemos la proporción entre el beneficio y la aportación .

Por tanto Antonio recibirá 500 euros, José recibirá 800 euros y Ana 1000 euros.

Una entidad benéfica decide repartir 910 ordenadores entre tres centros educativos, el primero tiene 380 alumnos, el segundo 410 y el tercero 510. ¿Cuánto ordenadores corresponden a cada centro?

REPARTO PROPORCIONAL INVERSO

A una mayor cantidad corresponde menor proporción

Ejemplo:

Un padre quiere repartir 15000 euros entre sus hijos de 3, 10 y 15 años. Desea entregar a cada hijo una cantidad que sea inversamente proporcional a su edad. ¿Qué cantidad corresponderá a cada hijo?
Llamemos x, y, z a las cantidades que lo corresponde a los hijos de 3, 10 y 15 años respectivamente